Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

a

2

x²+（a+1）x-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有

a2-1

2

m+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．由f′（x）＞0⇒x＞1； f′（x）＜0⇒0＜x＜1，從而函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．進(jìn)而x=1時(shí)f （x）有極小值為f （1）=1-ln1=1；
（2）a＞0時(shí)，f′（x）=-

a(x-\f(1

a

)(x-1)，x)．當(dāng)f′（x）=0時(shí)，x=1和x=

1

a

．分別討論①當(dāng)a=1時(shí)，②當(dāng)

1

a

＞1③當(dāng)

1

a

＜1的情況，從而得出答案；
（3）由（2）知當(dāng)a∈（2，3）時(shí)，f （x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，所以|f（x₁）-f（x₂）|_max=f （1）-f （2）=

a

2

-1+ln2，則有

a2-1

2

m+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|max，令g（a）=

a-2

a2-1

，則g′（a）=

-(a-2)2+3

(a2-1)2

＞0對(duì)a∈（2，3）恒成立，從而求出m的范圍．

解答： 解：（1）由題意得，定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=0時(shí)，f （x）=x-lnx，
∴f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
由f′（x）＞0⇒x＞1； f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴x=1時(shí)f （x）有極小值為f （1）=1-ln1=1．
（2）a＞0時(shí)，
f′（x）=-ax+a+1-

1

x

=

-ax2+(a+1)x-1

x

=-

a(x-\f(1

a

)(x-1)，x)．
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，x=1和x=

1

a

．
①當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=-

(x-1)2

x

≤0恒成立，
此時(shí)f （x）在（0，+∞）上遞減；
②當(dāng)

1

a

＞1即0＜a＜1時(shí)，
f′（x）＞0⇒1＜x＜

1

a

；f′（x）＜0⇒0＜x＜1或x＞

1

a

；
∴f （x）在（1，

1

a

）上遞增，在（0，1）和（

1

a

，+∞）上遞減；
③當(dāng)

1

a

＜1即a＞1時(shí)，f′（x）＞0⇒

1

a

＜x＜1；f′（x）＜0⇒0＜x＜

1

a

或x＞1；
∴f （x）在（

1

a

，1）上遞增，在（0，

1

a

）和（1，+∞）上遞減．
（3）由（2）知當(dāng)a∈（2，3）時(shí)，f （x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
所以|f（x₁）-f（x₂）|_max=f （1）-f （2）=

a

2

-1+ln2，
要使對(duì)任意x₁，x₂∈[1，2]，
恒有

a2-1

2

m+ln2＞|f （x₁）-f （x₂）|成立
則有

a2-1

2

m+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|max，
即

a2-1

2

m+ln2＞

a

2

-1+ln2對(duì)任意a∈（2，3）成立，
亦即m＞

a-2

a2-1

對(duì)任意a∈（2，3）成立，
令g（a）=

a-2

a2-1

，
則g′（a）=

-(a-2)2+3

(a2-1)2

＞0對(duì)a∈（2，3）恒成立，
所以g（a）在a∈（2，3）上單調(diào)遞增，
∴g（a）＜g（3）=

1

8

，
故m的取值范圍為 m≥

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的取值范圍，是一道綜合題．