Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大��；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

？若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先依據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BC⊥PA，同理證明CD⊥PA，再依據(jù)線面垂直的判定定理得出 PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）利用三垂線定理找出二面角的平面角，并加以證明，把此角放到直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系解出此角．
（Ⅲ）要使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

，即要點(diǎn)D到平面PAF的距離為

4 5

5

，過D作AF的垂線DG，由面面垂直的性質(zhì)知，DG為點(diǎn)D到平面PAF的距離，可求DG的長(zhǎng)度，由直角三角形相似可求BF=1．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵底面ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．（2分）
同理CD⊥PA，（4分）
∴PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：設(shè)M為AD中點(diǎn)，連接EM，
又E為PD中點(diǎn)，
可得EM∥PA，從而EM⊥底面ABCD．
過M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．
由三垂線定理有EN⊥AC，
∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角．（7分）
在Rt△EMN中，可求得EM=1，MN=

2

2

，
∴tanENM=

EM

MN

=

2

．（9分）
∴二面角E-AC-D的大小為arctan

2

．（10分）

（Ⅲ）解：由E為PD中點(diǎn)可知，
要使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

，即要點(diǎn)D到平面PAF的距離為

4 5

5

．
過D作AF的垂線DG，垂足為G，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAF⊥平面ABCD，
∴DG⊥平面PAF，即 DG為點(diǎn)D到平面PAF的距離．
∴DG=

4 5

5

，∴AG=

2 5

5

．（12分）
設(shè)BF=x，由△ABF與△DGA相似可得 

AB

BF

=

DG

GA

，
∴

2

x

=2，即 x=1．
∴在線段BC上存在點(diǎn)F，且F為BC中點(diǎn)，使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面垂直的證明方法，求二面角的大小的方法，求點(diǎn)到面的距離及開放型問題的解決方法．