Question

設(shè)各項為正的無窮數(shù)列{x_n}滿足lnx_n+

1

xn+1

＜1（n∈N₊），證明，x_n≤1（n∈N₊）．

Answer 1

考點：數(shù)列的極限

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=lnx+

1

x

，（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）≥1．下面用反證法證明：x₁≤1，假設(shè)x₁＞1，由于ln

xn

b

+

b

xn

≥1，可得

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，可得1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1- 1 b

lnb，得出矛盾即可．

解答： 證明：令f（x）=lnx+

1

x

，（x＞0）．
則f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令f′（x）＞0，解得x＞1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
因此x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（1）=1，∴f（x）≥1．
下面用反證法證明：x₁≤1，假設(shè)x₁＞1，
則ln

xn

b

+

b

xn

≥1，∴

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，
∴1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞lnb+

1

b

(lnb+

1

x3

)＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1- 1 b

lnb，
化為lnb+

1

b

＜1，與f（b）≥1矛盾，因此假設(shè)不成立，故x₁≤1．
同理可證：x_n≤1（n=2，3，…）．
∴x_n≤1（n∈N₊）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、反證法，考查了構(gòu)造函數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．