Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|，g（x）=k|x-1|．
（Ⅰ）已知0＜m＜n，若f（m）=f（n），求m²+n²的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，當(dāng)k=

1

2

時(shí)，求F（x）在（-∞，0）上的最小值；
（Ⅲ）求函數(shù)G（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)的圖象，可知0≤m＜1＜n≤

2

，再根據(jù)f（m）=f（n），可以得到m與n的關(guān)系，即可得m²+n²的值；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）和g（x）的函數(shù)解析式，分類(lèi)表示出F（x）的解析式，寫(xiě)成分段函數(shù)，再根據(jù)分段函數(shù)的解析式，即可求出F（x）在（-∞，0）上的最小值；
（Ⅲ）根據(jù)f（x）和g（x）的函數(shù)解析式，求出G（x）的解析式，再分別針對(duì)每一段上的解析式分別求解最值，在對(duì)每一段中的最值進(jìn)行分類(lèi)比較，確定其中的最大值，即可求得函數(shù)G（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=|x²-1|，
∴f（x）=

1-x2，-1＜x＜1 x2-1，x≤-1或x≥1

，
作出f（x）的圖象，由f（x）的圖象可知，0≤m＜1＜n≤

2

，
∵f（m）=f（n），
∴1-m²=n²-1，
∴m²+n²=2；
（Ⅱ）∵x＜0，
∴f（x）=

x2-1，x≤-1 1-x2，-1＜x＜0

，
∵k=

1

2

，
∴g（x）=

1

2

-

1

2

x，x∈（-∞，0），
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）≥g（x），即為x²-1≥

1

2

-

1

2

x，解得x≤-

3

2

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）≥g（x），即為1-x²≥

1

2

-

1

2

x，解得-

1

2

≤x＜0，
∴F（x）=

x2-1，x≤- 3 2 1 2 - 1 2 x，- 3 2 ＜x＜- 1 2 1-x2，- 1 2 ≤x＜0

，
①當(dāng)x≤-

3

2

時(shí)，F(xiàn)（x）=x²-1，
∵F（x）在（-∞，-

3

2

]上單調(diào)遞減，
∴F（x）的最小值為F（-

3

2

）=

5

4

；
②當(dāng)-

3

2

＜x＜-

1

2

時(shí)，F(xiàn)（x）=

1

2

-

1

2

x，
∵F（x）在（-

3

2

，-

1

2

）上單調(diào)遞減，
∴F（x）＜F（-

1

2

），
∴F（x）＜

3

4

；
③當(dāng)-

1

2

≤x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=1-x²，
∵F（x）在（-

1

2

，0）上單調(diào)遞增，
∴F（x）的最小值為F（-

1

2

）=

3

4

．
綜合①②③可得，當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值為

3

4

；
∴當(dāng)k=

1

2

時(shí)，F(xiàn)（x）在（-∞，0）上的最小值為

3

4

；
（Ⅲ）∵G（x）=f（x）+g（x），且f（x）=|x²-1|，g（x）=k|x-1|，
∴G（x）═

x2+kx-k-1，x≥1 -x2-kx+k+1，-1≤x＜1 x2-kx+k-1，x＜-1

，
①記G₁（x）=x²+kx-k-1，x∈[1，2]，
對(duì)稱(chēng)軸為x=-

k

2

，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系可得，
當(dāng)-

k

2

≤

3

2

，即k≥-3時(shí)，G₁（x）_max=G₁（2）=k+3，
當(dāng)-

k

2

＞

3

2

，即k＜-3時(shí)，G₁（x）_max=G₁（1）=0，
②記G₂（x）=-x²-kx+k+1，x∈[-1，1]，
對(duì)稱(chēng)軸為x=-

k

2

，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系可得，
當(dāng)-

k

2

≤-1，即k≥2時(shí)，G₂（x）_max=G₂（-1）=2k，
當(dāng)-1＜-

k

2

＜1，即-2＜k＜2時(shí)，G₂（x）_max=G₂（-

k

2

）=(

k

2

+1)2，
當(dāng)-

k

2

≥1，即k≤-2時(shí)，G₂（x）_max=G₂（1）=0，
③記G（x）=x²-kx+k-1，x∈[-2，-1]，
對(duì)稱(chēng)軸為x=

k

2

，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系可得，
當(dāng)

k

2

≥-

3

2

，即k≥-3時(shí)，G₃（x）_max=G₃（-2）=3k+3，
當(dāng)

k

2

＜-

3

2

，即k＜-時(shí)，G₃（x）_max=G₃（-1）=2k，
由上討論可知，
當(dāng)k＜-3時(shí)，G（x）_max=max{0，2k}=0，
當(dāng)-3≤k≤-2時(shí)，G（x）_max=max{k+3，0，3k+3}=k+3，
當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，G（x）_max=max{k+3，(

k

2

+1)2，3k+3}=k+3，
當(dāng)0≤k＜2時(shí)，G（x）_max=max{k+3，(

k

2

+1)2，3k+3}=3k+3，
當(dāng)k≥2時(shí)，G（x）_max=max{k+3，2k，3k+3}=3k+3，
綜上所述：當(dāng)k＜-3時(shí)，G（x）在[-2，2]上的最大值為0，
當(dāng)-3≤k＜0時(shí)，G（x）在[-2，2]上的最大值為k+3，
當(dāng)k≥0時(shí)，G（x）在[-2，2]上的最大值為3k+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的最值．對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)，通常轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)解答，對(duì)于分段函數(shù)的問(wèn)題，一般選用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．本題綜合應(yīng)用了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．