Question

已知函數f(x)=

1-2x

1+2x

．
（1）試確定f（x）的奇偶性；
（2）求證：函數f（x）在R上是減函數；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數的定義域為R，關于原點對稱，且花簡求得f（-x）=-f（x），由此可得函數f（x）為奇函數．
（2）化簡函數f（x） 的解析式為

2

2x+1

-1，設x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）=

2(2x2- 2x1)

( 2x1+1)(2x2+1)

＞0，可得函數f（x）在R上是減函數．
（3）由于f（x）為奇函數，不等式即 f（t²-2t）＜f（k-2t²） 恒成立．再由函數f（x）在R上是減函數可得 t²-2t＞k-2t² 恒成立，即 3 t²-2t-k＞0恒成立．
由判別式△＜0，解得k的取值范圍．

解答：解：（1）由于函數f(x)=

1-2x

1+2x

的定義域為R，關于原點對稱，且有f（-x）=

1-2-x

1+2-x

=

2x-1

2x+1

=-

1-2x

2x+1

=-f（x），故函數f（x）為奇函數．
（2）∵f（x）=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

2x+1

-1，設x₁＜x₂，再由f（x₁）-f（x₂）=（

2

2x1+1

-1）-（

2

2x2+1

-1）=

2(2x2- 2x1)

( 2x1+1)(2x2+1)

＞0，
可得f（x₁）＞f（x₂），故函數f（x）在R上是減函數．
（3）∵對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，f（x）為奇函數，∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²） 恒成立．
再由函數f（x）在R上是減函數可得 t²-2t＞k-2t² 恒成立，即 3 t²-2t-k＞0恒成立．
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
故k的取值范圍為（-∞，-

1

3

）．

點評：本題主要考查指數型復合函數的性質以及應用，二次函數的性質，函數的恒成立問題，屬于中檔題．