已知直線l1過A（0，1），與直線x=-2相交于點P（-2，y0），直線l2過B（0，-1）與x相交于Q（x0，0），x0、y0滿足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直線l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B，F(xiàn)2為C的右焦點，求△ABF2面積最大時點F2到直線l的距離．
（Ⅰ）∵直線l1過A（0，1），與直線x=-2相交于點P（-2，y0），
∴直線l1的斜率k為k=
1-y0
2
．
∴直線l1的方程為y=
1-y0
2
x+1．…（3分）
（Ⅱ）當x0=0時，直線l2就是y軸，M（0，1）．
當x0≠0時，直線l2方程為y=
1
x0
x-1．（1）
∵y0-
x0
2
=1，∴k=-
x0
4
，
∴直線l1的方程可變?yōu)?span >y=-
x0
4
x+1．（2）
由（1）（2）得
x2
4
+y2=1．
∵P點在直線x=-2上，
∴l(xiāng)2不經(jīng)過B（0，-1），即B（0，-1）不在軌跡C上，
∴軌跡C的方程為
x2
4
+y2=1（y≠-1）．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，根據(jù)題意直線l與x軸不能重合，
∴可設(shè)l的方程為x=ky-
3
，又設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
把x=ky-
3
代入
x2
4
+y2=1化簡并整理得(k2+4)y2-2
3
ky-1=0，
∴y1+y2=
2
3
k
k2+4
，y1y2=-
1
k2+4
，
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
(
2
3
k
k2+4
)2+
4
k2+4
=4
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6
，
∴△ABF2面積S=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=4
3
•
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6
≤4
3
•
1
2
(k2+1)•
9
k2+1
+6
=2，
當且僅當k2+1=
9
k2+1
，即k=±
2
時等號成立．
∴△ABF2面積最大時，l的方程為x±
2
y+
3
=0，
點F2(
3
，0)到直線l的距離d為d=
|
3
+
3
|
3
=2．…（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=2x與拋物線C：y=
1
4
x2交于A（xA，yA）、O（0，0）兩點，過點O與直線l垂直的直線交拋物線C于點B（xB，yB）．如圖所示．
（1）求拋物線C的焦點坐標；
（2）求經(jīng)過A、B兩點的直線與y軸交點M的坐標；
（3）過拋物線y=
1
4
x2的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點A、B的直線AB是否恒過定點，如果是，指出此定點，并證明你的結(jié)論；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知m＞1，直線l：x-my-
m2
2
=0，橢圓C：
x2
m2
+y2=1，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點．
（Ⅰ）當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G、H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它們所表示的曲線可能是（　　）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一定點，P是圓上任意一點．線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是（　�。�
A．橢圓B．圓C．雙曲線D．直線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±
3
x，O為坐標原點，點M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(-1，
2
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左、右頂點A、B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為以F1F2為直徑的圓上異于F1，F(xiàn)2的動點，問
AP
•
BP
是否為定值，若是求出定值，不是說明理由？
（3）是否存在過點Q（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點M、N，使得|FD|=
1
2
|MN|（其中D為弦MN的中點）？若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點，直線y=
3
x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
，且λ1+λ2=-
8
3
時，求Q點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓心為F1的圓的方程為（x+2）2+y2=32，F(xiàn)2（2，0），C是圓F1上的動點，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）設(shè)N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交M的軌跡于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1+k2為定值．

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