Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是有一個角為60°的菱形，AA₁=AB，從頂點中取出三個能構(gòu)成不同直角三角形的個數(shù)有（　�。﹤�．

A．48

B．40

C．24

D．16

Answer 1

分析：由題意可得，這3個頂點必須在直四棱柱的4個側(cè)面內(nèi)，或在2個互相垂直的對角面ACC₁A₁和 BDD₁B₁內(nèi)，故有6C₄³ 個．

解答：解：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是有一個角為60°的菱形，AA₁=AB，
故在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的4個側(cè)面都是正方形，對角面ACC₁A₁和 BDD₁B₁ 中一個是矩形，另一個是正方形．
直四棱柱的上下底面和其它的對角面不是矩形．
而每個正方形的4個頂點中任意三點的連線都構(gòu)成直角三角形，共有5C₄³=20個．
矩形的4個頂點中任意取3個點的連線也都構(gòu)成直角三角形，共有C₄³=4個．
根據(jù)分類計數(shù)原理，構(gòu)成不同直角三角形的個數(shù)有 5C₄³+C₄³=24個，
故選：C．

點評：本題主要考組合及兩個基本原理，組合數(shù)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．