Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最小值；

（2）若存在兩個不同的實數(shù)，使得，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）對進行求導，得到其單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對導函數(shù)的零點與所給區(qū)間的關(guān)系進行討論，即分為，和三種情形，根據(jù)單調(diào)性求得最值；（2）令，易得當時，，設，，故，根據(jù)單調(diào)性得證.

試題解析：（1）根據(jù)題意，得，當時，；當時.

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當，即時，在上單調(diào)遞減，；

當，即時，；

當時，在上單調(diào)遞增，.

所以.

（2）構(gòu)造函數(shù)，

則.

因為，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以當時，.

根據(jù)（1）中的性質(zhì)，若存在兩個不同的實數(shù)，使得，不妨設，則一定有，，當時，，

所以，

因為在上單調(diào)遞增，所以，.