Question

某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時(shí)間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數(shù)y=k•a^t（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）的圖象．
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？
（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后在過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）

Answer 1

分析：（1）由圖象知，0≤t＜1時(shí)函數(shù)的解析式是一個(gè)線段，再結(jié)合函數(shù)y=k•a^t（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）即可得到函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中所求出的解析式建立不等式y(tǒng)≥2，解此不等式計(jì)算出第二次吃藥的時(shí)間即可；
（3）根據(jù)所求出的函數(shù)解析式分別計(jì)算出兩次吃藥的剩余量，兩者的和即為病人血液中的含藥量．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t＜1時(shí)，y=8t；
當(dāng)t≥1時(shí)，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得

ka=8 ka7=1

，解得

a= 2 2 k=8 2

，
故y=

8t，(0≤t＜1) 8 2 ( 2 2 )t，(t≥1)

（2）設(shè)第一次服藥后最遲過t小時(shí)服第二次藥，則

t≥1 8 2 ( 2 2 )t =2

，解得t=5，即第一次服藥后5h后服第二次藥，也即上午11：00服藥；
（3）第二次服藥3h后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：y1=8

2

(

2

2

)8=

2

2

μg
含第二次服藥量為：y2=8

2

(

2

2

)3=4μg
所以此時(shí)兩次服藥剩余的量為

2

2

+4≈4.7μg
故該病人每毫升血液中的含藥量為4.7μg

點(diǎn)評：本題考查指數(shù)函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是將實(shí)際問題對應(yīng)的函數(shù)模型建立起來，進(jìn)而通過代數(shù)計(jì)算得出實(shí)際問題的解決方案