Question

某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)�鋪設(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米．
（1）分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；
（2）怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）總面積為xy=3000，且2a+6=y，則y=

3000

x

，（其中6≤x≤500）；所以，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)占地面積為S=（x-4）a+（x-6）a，整理即得；
（2）由（1）知，占地面積S=3030-6x-

15000

x

=3030-（6x+

15000

x

），由基本不等式可得函數(shù)的最大值，以及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，
則y=

3000

x

，（其中6≤x≤500）；
所以，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)占地面積為S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a
=（2x-10）•

y-6

2

=（x-5）（y-6）
=3030-6x-

15000

x

，（其中6≤x≤500）；
（2）占地面積S=3030-6x-

15000

x

=3030-（6x+

15000

x

）≤3030-2

6x• 15000 x

=3030-2×300=2430；
當(dāng)且僅當(dāng)6x=

15000

x

，即x=50時(shí)，“=”成立，此時(shí)x=50，y=60，Smax=2430．
即設(shè)計(jì)x=50米，y=60米時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2430平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題以矩形的面積為函數(shù)模型，考查了列函數(shù)解析式，應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值的問題，屬于中檔題目．