Question

已知關(guān)于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．1
• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：關(guān)于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，即求（2x+

2

x-a

）_min≥7，將不等式2x+

2

x-a

配湊成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，進(jìn)而求得a的最小值．

解答：解：∵關(guān)于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，
∴（2x+

2

x-a

）_min≥7，
∵x＞a，
∴y=2x+

2

x-a

=2（x-a）+

2

x-a

+2a≥2

2(x-a)• 2 x-a

+2a=4+2a，當(dāng)且僅當(dāng)2(x-a)=

2

x-a

，即x=a+1時(shí)取等號(hào)，
∴（2x+

2

x-a

）_min=4+2a，
∴4+2a≥7，解得，a≥

3

2

，
∴實(shí)數(shù)a的最小值為

3

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，以及應(yīng)用基本不等式求最值．對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離的方法進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題．在應(yīng)用基本不等式求最值的時(shí)候，要特別注意不等式取等號(hào)的條件．屬于基礎(chǔ)題．