Question

已知橢圓的右準(zhǔn)線，右焦點F到短軸一個端點的距離為2，過動點A（4，m）引橢圓的兩條切線AP、AQ，切點分別為P、Q
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線PQ過定點，并求出定點的坐標(biāo)；
（Ⅲ）要使最小，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得：a=2，所以，所以b²=a²-c²=1，進(jìn)而求出橢圓的方程．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，所以直線PQ的方程是x+my=1，可得直線PQ過定點．
（Ⅲ）要使 最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，A到直線PQ的距離，當(dāng)m²=1時取等號，又因為 •=（m²+1）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+9+m²，所以再聯(lián)立直線與橢圓的方程解決．
解答：解：（I）因為右焦點F到短軸一個端點的距離為2，
所以a=2，
又因為，
所以，
所以b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可得：切點為P的橢圓的方程為：，
因為點A（4，m）在切線AP上，所以有：x₁+my₁=1；
同理：x₂+my₂=1，
則直線PQ的方程：x+my=1，所以直線PQ過定點（1，0）．
（Ⅲ）由三角形的面積公式可得：就是A到直線PQ的距離d的，
由點到直線的距離公式可得：，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=1時取得等號．
由可得：（m²+4）y²-2my-3=0，
所以y₁+y₂=，y₁y₂=-，
所以=（m²+1）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+9+m²=，
因為m²=1，
所以=．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．