Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（1）若a=0，求在f（x）圖象與x軸交點(diǎn)處的切線方程；
（2）若f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若a=0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求在f（x）圖象與x軸交點(diǎn)處的切線方程；
（2）若f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=0，f（x）=-x²+1-lnx，
則f′（x）=-2x-

1

x

，
由f（x）=-x²+1-lnx=0，即x²-1=-lnx，解得x=1，
在x軸上的交點(diǎn)（1，0），
此時(shí)對應(yīng)的切線斜率k=f′（1）=-2-1=-3，
則在f（x）圖象與x軸交點(diǎn)處的切線方程為y-0=-3（x-1），即y=-3x+3；
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-2x-

1

x

+a，
若f（x）在（1，2）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
即f′（x）=-2x-

1

x

+a≥0在（1，2）上恒成立，
即a≥2x+

1

x

，
設(shè)g（x）=2x+

1

x

，則g′（x）=2-

1

x2

，
當(dāng)x∈（1，2），g′（x）=2-

1

x2

＞0，
此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，即g（x）∈（3，

9

2

），
則a≥

9

2

，
即a的取值范圍[

9

2

，+∞）．
若f（x）在（1，2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
即f′（x）=-2x-

1

x

+a≤0在（1，2）上恒成立，
即a≤2x+

1

x

，
設(shè)g（x）=2x+

1

x

，則g′（x）=2-

1

x2

，
當(dāng)x∈（1，2），g′（x）=2-

1

x2

＞0，
此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，即g（x）∈（3，

9

2

），
則a≤3，
即a的取值范圍（-∞，3]∪[

9

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的切線以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．