以知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1,x∈R+),若x1,x2∈R+,判斷的大小,并加以證明.
【答案】分析:把f(x)的解析式代入f(x1)+f(x2)中,進(jìn)而根據(jù)x1x2,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)a>1時(shí)判斷出[f(x1)+f(x2)]≤f,當(dāng)0<a<1(logax1+logax2)≥loga,綜合可得答案.
解答:解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=loga(x1x2
∵x1,x2∈R+
∴x1x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)).當(dāng)a>1時(shí),有l(wèi)oga(x1x2)≤loga
loga(x1x2)≤loga,(logax1+logax2)≤loga,
[f(x1)+f(x2)]≤f(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào))當(dāng)0<a<1時(shí),有l(wèi)oga(x1x2)≥loga,
(logax1+logax2)≥loga,
[f(x1)+f(x2)]≥f
(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)).
點(diǎn)評(píng):本小題考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、平均值不等式等知識(shí)及推理論證的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-4|的最小值為m,實(shí)數(shù)a,b,c,n,p,q
滿足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m.
(Ⅰ)求m的值;     (Ⅱ)求證:
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2

(2)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為
x=2tcosθ
y=2sinθ
(t為非零常數(shù),θ為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)t,使得直線l與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B,且
OA
OB
=10
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,請(qǐng)求出;否則,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廈門模擬)已知函數(shù)f(x)=21nx+ax2-1 (a∈R)
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a=l,試解答下列兩小題.
(i)若不等式f(1+x)+f(1-x)<m對(duì)任意的0<x<l恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(ii)若x1,x2是兩個(gè)不相等的正數(shù),且以f(x1)+f(x2)=0,求證:x1+x2>2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
,
①求矩陣A;
②已知矩陣B=
1-1
01
,點(diǎn)O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積.
(2)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
(t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的取值范圍.
(3)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•泉州模擬)(1)選修4-2:矩陣與變換
若二階矩陣M滿足M
12
34
=
710
46

(Ⅰ)求二階矩陣M;
(Ⅱ)把矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換作用在曲線3x2+8xy+6y2=1上,求所得曲線的方程.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為
x=2tcosθ
y=2sinθ
(t為非零常數(shù),θ為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)t,使得直線l與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B,且
OA
OB
=10
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,請(qǐng)求出;否則,請(qǐng)說明理由.
(3)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-4|的最小值為m,實(shí)數(shù)a,b,c,n,p,q滿足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求證:
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•雙流縣三模)已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點(diǎn)P(1,-2),過點(diǎn)P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程y=g(x);
(3)在(2)的條件下,求F(x)=f(x)+tg(x)(t為常數(shù))在[2,+∞)上單調(diào)時(shí),t的取值范圍.

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