Question

已知函數(shù)，，k為非零實數(shù).
（Ⅰ）設(shè)t=k²,若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)性相同，求k的取值范圍;
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)k，都能找到t∈[1,2],使得關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數(shù)根，且在[－5,－1]上至多有一個實數(shù)根.若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）當(dāng)k>0時，因為f(x)=kx,在(0,+∞)單調(diào)遞增，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增
但在(0,+∞)上，，所以不符合已知
當(dāng)k<0時，因為在(0,+∞)上，
，所以在(0,+∞)單調(diào)遞減，所以f(x)=kx,在(0,+∞)單調(diào)遞減
則k<0符合題意。
（2）

因為
，所以存在符合題意的k。

本試題考查了運用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，并求解參數(shù)的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題，轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數(shù)學(xué)思想的運用。