Question

3．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=a₁=3，b₂=a₃，b₃=a₉．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}={log_3}b_n^5-32$，求數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由b₁=a₁=3，b₂=a₃，b₃=a₉．可得$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+2d}\\{3{q}^{2}=3+8d}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）${c_n}={log_3}b_n^5-32$=5n-32，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n=$\frac{n（5n-59）}{2}$．|c_n|=$\left\{\begin{array}{l}{32-5n，n≤6}\\{5n-32，n≥7}\end{array}\right.$．當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=-T_n．當(dāng)n≥7時(shí)，S_n=T_n-2T₆．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁=a₁=3，b₂=a₃，b₃=a₉．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+2d}\\{3{q}^{2}=3+8d}\end{array}\right.$，解得d=3，q=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3ⁿ．
（II）${c_n}={log_3}b_n^5-32$=5n-32，
設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n=$\frac{n（-27+5n-32）}{2}$=$\frac{n（5n-59）}{2}$．
令c_n≥0，解得n≥7．
∴|c_n|=$\left\{\begin{array}{l}{32-5n，n≤6}\\{5n-32，n≥7}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=-（a₁+a₂+…+a_n）=-T_n=$\frac{n（59-5n）}{2}$．
當(dāng)n≥7時(shí)，S_n=-T₆+a₇+a₈+…+a_n=T_n-2T₆=$\frac{n（5n-59）}{2}$+174．
∴數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)的和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（59-5n）}{2}，n≤6}\\{\frac{n（5n-59）}{2}+174，n≥7}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．