Question

如果f'（x）是二次函數(shù)，且 f'（x）的圖象開口向上，頂點坐標為（1，-

3

），那么曲線y=f（x）上任一點的切線的傾斜角α的取值范圍是

[0，

π

2

）∪[

2π

3

，π）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可設(shè)f′(x)=a(x-1)2-

3

且a＞0可得f′(x)≥-

3

即tanα≥-

3

，由導數(shù)得幾何意義可得，曲線上任意一點的斜率k=f′(x)≥ -

3

，結(jié)合0≤α＜π及正切函數(shù)的圖象可求

解答：解：根據(jù)題意可得f′(x)=a(x-1)2-

3

且a＞0
∴f′(x)≥-

3

即tanα≥-

3

由導數(shù)得幾何意義可得，曲線上任意一點的斜率k=f′(x)≥ -

3

∴tanα≥-

3

∵0≤α＜π
∴0≤α＜

π

2

或

2π

3

≤α＜π
故答案為：[0，

π

2

)∪[

2π

3

，π)

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點的導數(shù)值即是函數(shù)在該點得切線斜率，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，直線的傾斜角與直線的斜率的關(guān)系及直線的傾斜角得范圍，屬于知識得綜合應用．