Question

設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和，且S_n=2a_n+n²-8．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-2n-3}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an-2n-2

，證明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用遞推公式a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-8-2a_n-n²+8，可得a_n+1=2a_n-2n-1，變形可得a_n+1-2（n+1）-3=2（a_n-2n-3），（n∈N*）可得數(shù)列{a_n-2n-3}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）由題設及（Ⅰ）可得bn=

1

2n+1

＜

1

2n

，利用等比數(shù)列的和公式及對數(shù)列的放縮可證．

解答：解：（Ⅰ）由題設，a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-8-2a_n-n²+8，
∴a_n+1=2a_n-2n-1，∴a_n+1-2（n+1）-3=2（a_n-2n-3），（n∈N*）
由題設∵a₁=2a₁+1²-8，∴a₁=7，∴a₁-2×1-3=2，
∴數(shù)列{a_n-2n-3}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-2n-3=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n+3．
（Ⅱ）由題設及（Ⅰ）得bn=

1

2n+1

，∴bn＜

1

2n

∴b1+b2+…+bn＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1

點評：利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1求數(shù)列的通項公式時一定要注意檢驗n=1時的值是否適合通項，放縮法證明不等式時要注意放縮要合理．