Question

（2012•杭州二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的垂直，推出數(shù)量積為0，通過三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)，確定角A的大��；
（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表達(dá)式，通過三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，根據(jù)角的范圍，確定三角函數(shù)的范圍，然后求△ABC的周長l的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意

m

⊥

n

．可知：

m

•

n

=0，
即acosC+

1

2

c=b，得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴

1

2

sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

．
又0＜A＜π∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，
l=a+b+c=1+

2

3

(sinB+sinC)=1+

2

3

(sinB+sin(A+B))
=1+2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=1+2sin（B+

π

6

）．
∵A=

π

3

．
∴B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin（B+

π

6

）∈(

1

2

，1]．
故△ABC的周長l的范圍為（2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)，向量的數(shù)量積等知識(shí)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．