Question

已知{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x∈R⁺|（x-6）sin

π

2

x=1}，則x₁+x₂+x₃+x₄的最小值為（　�。�

Answer 1

分析：將“（x-6）•sin

π

2

x=1”兩邊同除以“x-6”，再分別判斷兩端函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，得到函數(shù)f（x）=sin

π

2

x-

1

x-6

的對(duì)稱(chēng)中心，再由對(duì)稱(chēng)性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答：解：由（x-6）•sin

π

2

x=1得，sin

π

2

x=

1

x-6

，則x＞0且x≠6，
∵y=sin

π

2

x是以4為周期的奇函數(shù)，
∴y=sin

π

2

x的對(duì)稱(chēng)中心是（2k，0），k∈z，
∵y=

1

x-6

的圖象是由奇函數(shù)y=

1

x

向右平移6個(gè)單位得到，
∴y=

1

x-6

的對(duì)稱(chēng)中心是（6，0），
∴函數(shù)f（x）=sin

π

2

x-

1

x-6

的對(duì)稱(chēng)中心是（6，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-6）•sin

π

2

x=1，x＞0}，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，最小值x₁和x₃、x₂和x₄關(guān)于（6，0）對(duì)稱(chēng)，即x₁+x₃=12，x₂+x₄=12，
則x₁+x₂+x₃+x₄=24，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出方程根之和的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用基本初等函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷，相應(yīng)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，難度較大．