Question

數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n），（4，10）都在二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象上，數(shù)列{a_n}滿足=2ⁿ．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=（1-）-，R_n=+++…+，求對(duì)?n∈N^*，m＞R_n都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)（1，1），（4，10）都在二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象上，可求a，b，進(jìn)而可求S_n，利用遞推公式b_n=S_n-S_n-1可求b_n，結(jié)合，可求a_n
（2）由c_n=（1-）-=可得，可考慮利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和R_n，然后由R_n的范圍可求m的范圍
解答：（1）證明：∵b₁=1，
∴S₁=1
∴點(diǎn)（1，1），（4，10）都在二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象上，
∴，解得：         …（1分）
∴                                     …（2分）
則n≥2時(shí)，
∴b_n=S_n-S_n-1=-[]=n
又b₁=1也適合，所以b_n=n，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列                       …（6分）
又，
∴                                    …（7分）
（2）∵c_n=（1-）-=
∴ …（8分）
∴R_n=+++…+=①
∴=②
兩式相減，得：=，
∴…（12分）
∵
∴R_n＜3
∴m=3                  …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的判斷，數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解中的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求 數(shù)列的和方法的 應(yīng)用．