Question

下列函數(shù)中，在（0，

π

2

）上有零點的函數(shù)是（　�。�

A．f（x）=sinx-x	B．f（x）=sinx- 2 π x
C．f（x）=sin2x-x	D．f（x）=sin2x- 2 π x

Answer 1

對于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于B：令f′（x）=cosx-

2

π

=0，得x₁=arccos

2

π

，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＞0，當(dāng)x1＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（x1，

π

2

）上單調(diào)遞減，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于D：令f′（x）=2sinxcosx-

2

π

=sin2x-

2

π

=0，得x₁=arcsin

2

π

，或x₂=π-arcsin

2

π

，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＜0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，當(dāng)x2＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，在（x2，

π

2

）上單調(diào)遞減，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故該函數(shù)在（0，

π

2

）上有零點，故正確；
故選D．