Question

已知橢圓C₁：，雙曲線C₂與C₁具有相同的焦點，且離心率互為倒數．
①求雙曲線C₂的方程；
②圓C：x²+y²=r²（r＞0）與兩曲線C₁、C₂交點一共有且僅有四個，求r的取值范圍；是否存在r，使得順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形？

Answer 1

解：①依題意，設雙曲線C₂的方程為（a＞0，b＞0）
橢圓C₁的離心率為，焦點為F（±2，0），
所以，
解得a=1，c=2，．
②橢圓C₁的頂點為A（±4，0）、，雙曲線C₂的頂點為M（±1，0），橢圓C₁與雙曲線C₂的交點為N（±2，±3），．
所以圓C與兩曲線C₁、C₂有且僅有四個交點，
當且僅當或或r＞4．
直線y=±x與橢圓C₁的交點為，，
因為，且，
所以，以O為圓心、|OP|為半徑的圓與兩曲線C₁、C₂的交點不只四個，不合要求．
直線y=±x與雙曲線C₂的交點為，，，符合要求，
即時，交點有且僅有四個，順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形．
分析：①依題意，設雙曲線C₂的方程為（a＞0，b＞0），由雙曲線C₂與C₁具有相同的焦點，且離心率互為倒數，知，由此可求出雙曲線C₂的方程．
②橢圓C₁的頂點為A（±4，0）、，雙曲線C₂的頂點為M（±1，0），橢圓C₁與雙曲線C₂的交點為N（±2，±3），．所以圓C與兩曲線C₁、C₂有且僅有四個交點，再運用曲線的對稱性將問題轉化從而簡化計算．
點評：本題是橢圓、雙曲線與圓的綜合，解題要求先用待定系數法求軌跡方程，再數形結合討論曲線的幾何性質，第②問關鍵是運用曲線的對稱性將問題轉化從而簡化計算．另外，圓錐曲線的一些數量關系常用向量表示：設橢圓C₁的兩個焦點為F₁、F₂，動點P滿足，則動點軌跡也是曲線C₂．