Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，過F₁的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點．若△ABF₂是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、2
• B、

  7

• C、

  13

• D、

  15

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=

7

a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率．

解答： 解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，解之得c=

7

a，
由此可得雙曲線C的離心率e=

c

a

=

7

．
故選：B．

點評：本題給出經(jīng)過雙曲線左焦點的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點構(gòu)成等邊三角形，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．