Question

冪函數(shù)y=的圖象上的點 P_n（t_n²，t_n）（n=1，2，…）與x軸正半軸上的點Q_n及原點O構(gòu)成一系列正△P_nQ_n-1Q_n（Q與O重合），記a_n=|Q_nQ_n-1|
（1）求a₁的值；   
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式 a_n；
（3）設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若對于任意的實數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當n≥k時，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由P₁（t₁²，t₁）（t＞0），知==tan=，由此能求出a₁的值．
（2）設 P_n（t_n²，t_n），得直線 P_nQ_n-1的方程為：y-t_n=（x-t_n²），故Q_n-1（t_n²-，0），由直線 P_nQ_n的方程為：y-t_n=-（x-t_n²），得 Q_n（t_n²+，0），故t_n²-=t_n-1²+，由此能求出a_n．
（3）對于任意的實數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當n≥k時，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，等價于對任意實數(shù) λ∈[0，1]時，（2n-1）λ+n²-4n+3≥0 恒成立．令f （λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，對任意實數(shù) λ∈[0，1]時，，由此能求出k 的最小值．
解答：解：（1）∵P₁（t₁²，t₁）（t＞0），…（1分），
∴==tan=，解得t₁=，
∴P₁（，），a₁=|Q₁Q|=|OP₁|=．…（5分）
（2）設 P_n（t_n²，t_n），得直線 P_nQ_n-1的方程為：y-t_n=（x-t_n²），
∴Q_n-1（t_n²-，0），
直線 P_nQ_n的方程為：y-t_n=-（x-t_n²），
∴得 Q_n（t_n²+，0）
∴Q_n-1（t_n-1²+，0），故t_n²-=t_n-1²+，
由 t_n＞0，得t_n-t_n-1=
∴t_n=t₁+（n-1）=n．…（8分）
∴Q_n（n（n+1），0），Q_n-1（n（n-1），0），
∴a_n=|Q_nQ_n-1|=n．…（10分）
（3）∵對于任意的實數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，
當n≥k時，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，
∴對任意實數(shù)λ∈[0，1]時 n²-2n+2≥（1-λ） （2n-1）恒成立，
∴對任意實數(shù) λ∈[0，1]時，（2n-1）λ+n²-4n+3≥0 恒成立．…（12分）
令f （λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，
則 f （λ） 是關(guān)于 λ 的一次函數(shù)．
∴對任意實數(shù) λ∈[0，1]時，，…（14分）
解得n≥3或n≤1，
又∵n∈N^*，∴k 的最小值為3．…（16分）
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．