Question

5．如圖所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別是正方形A₁B₁C₁D₁和ADD₁A₁的中心，求EF和CD所成的角．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出EF和CD所成的角．

解答 解：以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為1，
則D（0，0，0），C（0，1，0），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{DC}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{DC}$＞=135°，
∴異面直線EF和CD所成的角是45°．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．