Question

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（1）已知f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程是y=2x-1，求實數a，b的值．
（2）若方程f（x）=λx²（λ＞0）有唯一實數解，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用（x）在點P（1，f（1））處的切線方程是y=2x-1，建立方程組，從而可求實數a，b的值；
（2）因為方程f（x）=λx²有唯一實數解，所以λx²-lnx-x=0有唯一實數解，構造函數g（x）=λx²-lnx-x，利用g（x）=0有唯一解，再構造函數h（x）=2lnx+x-1，利用h（1）=0，可得方程的解，從而可求實數λ的值．

解答：解：（1）當x=1時，y=1，∴f(1)=-

1

2

a-b=1．
∵f′(x)=

1

x

-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．…（4分）
（2）因為方程f（x）=λx²有唯一實數解，所以λx²-lnx-x=0有唯一實數解．…（6分）
設g（x）=λx²-lnx-x，則g′(x)=

2λx2-x-1

x

．
令g'（x）=0，則2λx²-x-1=0．
因為λ＞0，所以△=1+8λ＞0，方程有兩異號根，設為x₁＜0，x₂＞0，因為x＞0，所以x₁應舍去．
當x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減；
當x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調遞增．
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（8分）
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

λ x 2 2 -lnx2-x2=0 2λ x 2 2 -x2-1=0.

…（10分）
因為λ＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（*）
設函數h（x）=2lnx+x-1．因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1．
代入方程組解得λ=1．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查方程解的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．