Question

設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離之差為2m，到x、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），然后由點(diǎn)P到x、y軸的距離之比為2得一元一次方程，再由點(diǎn)P到點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離之差為2m，滿足雙曲線定義，則得其標(biāo)準(zhǔn)方程，最后處理方程組通過x²求得m的取值范圍．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題設(shè)得

|y|

|x|

=2，即y=±2x，x≠0
因此，點(diǎn)P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三點(diǎn)不共線，得||PM|-|PN||＜|MN|=2
∵||PM|-|PN||=2|m|＞0
∴0＜|m|＜1
因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2|m|的雙曲線上，故

x2

m2

-

y2

1-m2

=1．
將y=±2x代入

x2

m2

-

y2

1-m2

=1，并解得x2=

m2(1-m2)

1-5m2

≥0，
因?yàn)?-m²＞0，所以1-5m²＞0，
解得0＜|m|＜

5

5

，
即m的取值范圍為(-

5

5

，0)∪(0，

5

5

)．

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線定義及代數(shù)運(yùn)算能力．