Question

已知函數(shù)f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=3，求f（x）在區(qū)間[1，e²]上值域．期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)性．
（II）由（I）所涉及的單調(diào)性來求在區(qū)間[1，e²]上的單調(diào)性，確定出函數(shù)的最值，即可求出函數(shù)的值域．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
∴f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

，x＞0
令t=

1

x

＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
②△=a²-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有兩個(gè)不等根
由2t²-at+1＞0，得t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

，又x＞0
∴0＜x＜

a- a2-8

2

或x＜0或x＞

a+ a2-8

2

由2t²-at+1＜0，得

a- a2-8

2

＜t＜

a+ a2-8

2

∴

a- a2-8

2

＜x＜

a+ a2-8

2

綜上：①0＜a≤2

2

，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
②a＞2

2

函數(shù)f（x）(0，

a- a2-8

2

)，(

a+ a2-8

2

，+∞)上是增函數(shù)，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)上是減函數(shù)，
（2）當(dāng)a=3時(shí)，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)在[1，2]是奇函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在區(qū)間[1，e²]上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及值域，比較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性，一般用導(dǎo)數(shù)來研究，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程不等式綜合問題解決，研究值域時(shí)一定要先確定函數(shù)的單調(diào)性才能求解．