Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x+1)=-

1

f(x)

，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

A．[ 1 4 ， 1 3 )

B．(0， 1 2 )

C．(0， 1 4 ]

D．( 1 3 ， 1 2 )

Answer 1

∵函數(shù)f（x）滿足f(x+1)=-

1

f(x)

，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，
可得當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x² ，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（x-2）²．
由于函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：



把點(diǎn)（3，1）代入y=kx+k，可得k=

1

4

，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (0，

1

4

]，
故選C．