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18.已知函數f(x)=alnx+x2(a∈R).
(1)當a=-4時,求函數f(x)在[1,e]上的最大值及相應的x值;
(2)當x∈(1,e)時,f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.

分析 (1)求導,分析函數的單調性,進而可得$f{(x)_{max}}=f(e)={e^2}-4$,當x=e時,取等號
(2)當x∈(1,e)時,f(x)≥0恒成立,等價于a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$,設g(x)=$-\frac{x^2}{lnx}$,x∈(1,e),利用導數法,求其最值,進而可得實數a的取值范圍.

解答 解:(1)∵f(x)=alnx+x2,
∴$f'(x)=\frac{{2{x^2}-4}}{x}(x>0)$,
當$x∈[1,\sqrt{2})$時,f′(x)<0;
當$x∈({\sqrt{2},e}]$時,f'(x)>0,
又f(e)-f(1)=-4+e2-1>0,
故$f{(x)_{max}}=f(e)={e^2}-4$,當x=e時,取等號;
(2)當x∈(1,e)時,lnx∈(0,1),
f(x)≥0恒成立,等價于a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$,
設g(x)=$-\frac{x^2}{lnx}$,x∈(1,e),
則$g'(x)=-\frac{{2xlnx-{x^2}\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{x(2lnx-1)}{{{{ln}^2}x}}$,
當$x∈({1,\sqrt{e}})$時,g'(x)>0,函數g(x)遞增,
當$x∈(\sqrt{e},e)$時,g'(x)<0,函數g(x)遞減.
又$g(\sqrt{e})=-2e$,
所以a≥-2e時,f(x)≥0恒成立.

點評 本題考查的知識點是利用導數法,求函數的最值,函數恒成立問題,難度中檔.

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