Question

已知函數f（x）=x²-2mx+4n²（m∈R，n∈R）．
（Ⅰ）若m從集合{0，1，2，3}中任取一個元素，n從集合{0，1，2，4}中任取一個元素，求方程f（x）=0有兩個不相等實數根的概率；
（Ⅱ）若m從區(qū)間[0，4]中任取一個數，n從區(qū)間[0，6]中任取一個數，求方程f（x）=0沒有實數根的概率．

Answer 1

（Ⅰ）∵m取集合{0，1，2，3}中任一個元素，n取集合{0，1，2，4}中任一個元素，
∴基本事件（m，n）共有16個：（0，0），（0，1），（0，2），（0，4），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，4），（2，0），（2，1），（2，2），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，4）．…（2分）
設“方程f（x）=0有兩個不相等的實根”為事件A，
當m≥0，n≥0時，方程f（x）=0有兩個不相等實根的充要條件為m＞2n
當m＞2n時，事件A共有4個：（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），…（4分）
∴方程f（x）=0有兩個不相等實數根的概率為p(A)=

4

16

=

1

4

…（6分）
（Ⅱ）∵m從區(qū)間[0，4]中任取一個數，n從區(qū)間[0，6]中任取一個數，則試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（m，n）|0≤m≤4，0≤n≤6}，
這是一個矩形區(qū)域，其面積S=4×6=24…（8分）
設“方程f（x）=0沒有實根”為事件B，則事件B所構成的區(qū)域為β={（m，n）|0≤m≤4，0≤n≤6，m＜2n}它所表示的部分為梯形，
其面積S1=24-

1

2

×4×2=20…（10分）
由幾何概型的概率計算公式可得方程f（x）=0沒有實數根的概率為p(B)=

S1

S

=

20

24

=

5

6

…（12分）