Question

【題目】已知函數f（x）=lg ． （Ⅰ）求函數f（x）的定義域，并證明其在定義域上是奇函數；
（Ⅱ）對于x∈[2，6]，f（x）＞lg 恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ＞0，解得x＜﹣1或x＞1，

∴函數的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

∵f（﹣x）=lg =lg =﹣lg =﹣f（x），

∴函數f（x）為奇函數，

（Ⅱ）由題意：x∈[2，6]，

∴（x﹣1）（7﹣x）＞0，

∵ ＞0，可得：m＞0．

即：lg ＞lg ＞恒成立，

整理：lg ﹣lg ＞0，

化簡：lg ＞0，

可得：lg ＞lg1，

即 ＞1，

∴（x+1）（7﹣x）﹣m＞0，即：﹣x2+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，

只需m小于﹣x2+6x+7的最小值．

令：y=﹣x2+6x+7=﹣（x﹣3）2+16

開口向下，x∈[2，6]，

當x=6時，y取得最小值，ymin=﹣（6﹣3）2+16=7，

所以：實數m的取值范圍（0，7）．

【解析】（Ⅰ）對數函數的指數大于0，從而求解定義域．根據函數的奇偶性進行判斷即可．（Ⅱ）利用對數函數的性質化簡不等式，轉化為二次函數的問題求解m的取值范圍．