Question

15．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x₀，2），（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
（1）求函數y=f（x）的解析式和單調遞增區(qū)間；
（2）若當0≤x≤$\frac{11π}{12}$時，方程f（x）-m=0有兩個不同的實數根α，β，試討論α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由圖象與y軸的交點為（0，1）求出φ的值，可得函數的解析式，利用正弦函數的單調性可求單調遞增區(qū)間；
（2）在同一坐標系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和直線y=m（m∈R）的圖象，結合正弦函數的圖象的特征，數形結合求得實數m的取值范圍和這兩個根的和．

解答 （本題滿分為15分）
解：（1）由題意可得：A=2，
由在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x₀，2），（x₀+$\frac{π}{2}$，-2），可得：
$\frac{T}{2}$=（x₀+$\frac{π}{2}$）-x₀=$\frac{π}{2}$，可得：T=π，
∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），
又∵圖象與y軸的交點為（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）…4分
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可解得f（x）的單調遞增區(qū)間是：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…8分
（2）如圖所示，在同一坐標系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和y=m（m∈R）的圖象，
由圖可知，當-2＜m≤0或1≤m＜2時，直線y=m與曲線有兩個不同的交點，即原方程有兩個不同的實數根，
當-2＜m≤0時，兩根和為$\frac{4π}{3}$；
當1≤m＜2時，兩根和為$\frac{π}{3}$…15分

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，考查了正弦函數的圖象的特征，屬于中檔題．