Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，左頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓外，則離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，2）
• C、（

  3

  2

  ，+∞）
• D、（1，

  3

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，由左頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓的外部，得|MF|＞|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡整理得e²-e-2＜0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答： 解：由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
則直線AB方程為：x=c，其中c=

a2+b2

，
因此，設(shè)A（c，y₀），B（c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線的左頂點(diǎn)C（-a，0）在以AB為直徑的圓外部，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡整理，得2a²+ac-c²＞0，
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
由于e＞1，則1＜e＜2．
故選B．

點(diǎn)評：本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左頂點(diǎn)在此圓外時求雙曲線的離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．