Question

如圖，在等腰直角三角形中， =900 ，=6, 分別是，上的點(diǎn)， 為的中點(diǎn).將沿折起，得到如圖所示的四棱椎，其中

（1）證明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

詳見解析

【解析】

試題分析：（1）F為ED的中點(diǎn)，連接OF,A’F，根據(jù)已知計(jì)算出的長(zhǎng)度，滿足勾股定理，, A’F為等腰△A’DE底邊的中線，, ,證得線面垂直，線線垂直，再線面垂直;(2) 過點(diǎn)O作的延長(zhǎng)線于，連接．利用（1）可知：平面，根據(jù)三垂線定理得，所以為二面角的平面角．在直角中，求出即可；

試題解析：

證明: (1)設(shè)F為ED的中點(diǎn)，連接OF,A’F,計(jì)算得A’F=2，OF=1

∵A’F為等腰△A’DE底邊的中線，∴A’F⊥DE

∵OF在原等腰△ABC底邊BC的高線上，

∴OF⊥DE

又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,

∴DE⊥平面A’OF

∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O

在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF

∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE 6分

(2)：如答圖1，過O作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于M，連接A’M

∵A’O⊥平面BCDE,CD平面BCDE, ∴CD⊥A’O ∵OMA’O=O, ∴CD⊥平面A’OM

∵A’M平面A’OM∴CD⊥A’M ∴∠A’MO為所求二面角的平面角

在Rt△OMC中，OM==, A’O=于是在Rt△A’OM中，A’M=∴∠A’OM= 13分

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定；2.二面角的定義.