（本小題滿分12分已知f(x)是實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.

(Ⅰ)求證：f(x)是周期函數(shù).

(Ⅱ)已知f(-4)=2，求f(2012).

 

【答案】

（1）證明  ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),

則f(x+2)=f

∴f(x+3)=f    ……………5分

f (x+6)=f

∴f(x)是周期函數(shù)且6是它的一個周期.           …………………7分

 

(2)解 

f(2 012)=f(335×6+2)=f(2)=f(6+（-4）)=f（-4）=2. ……12分

【解析】略

 

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高三上學期期中聯(lián)考文科數(shù)學卷 題型：解答題

(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列的前9項和為171．
（1）求；
（2）若，從數(shù)列中，依次取出第二項、第四項、第八項，……，
第項，按原來的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省衡陽市高三上學期第一次月考理科數(shù)學 題型：解答題

(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R, c∈R).

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,,

求F(2)+F(-2)的值

(Ⅱ)若a=1,c=0,且在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省淄博市高三第一學期期末數(shù)學理卷 題型：解答題

(本小題滿分12分) 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足: （），且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式;

（Ⅱ）證明:（）

（Ⅲ）若，令，設(shè)數(shù)列的前項和為（），試比較與的大小.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省淄博市高三第一學期期末數(shù)學理卷 題型：解答題

(本小題滿分12分) 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足: （），且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式;

（Ⅱ）證明:（）

（Ⅲ）若，令，設(shè)數(shù)列的前項和為（），試比較與的大小.

 

 

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