Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

2

-

y2

b2

=1(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P，M為C上任意點(diǎn)，∠F1PF2=

π

2

，S△PF1F2=1，N(

3

2

，1)，則

6

3

|MF2|+|MN|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由雙曲線(xiàn)的方程可得 a=

2

，c=

2+b2

，由條件可得雙曲線(xiàn)的方程為為

x2

2

-y2=1，過(guò)M作右準(zhǔn)線(xiàn)
的垂線(xiàn)MH，H為垂足，由雙曲線(xiàn)的定義可得|MH|=

6

3

|MF₂|，故 

6

3

|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|．

解答：解：由雙曲線(xiàn)的方程可得 a=

2

，c=

2+b2

，F(xiàn)₁ （-c，0），F(xiàn)₂  （c，0）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），n＞0，則有

n-0 m+ 2+b2 • n m- 2+b2 =-1 m2 2 - n2 b2 =1 1 2 ×2 2+b2 ×n = 1

，解得  b²=1，
故雙曲線(xiàn)的方程為

x2

2

-y2=1，故c=

3

，e=

3

2

=

6

2

．過(guò)M作右準(zhǔn)線(xiàn) x=

2

3

  的垂線(xiàn)MH，H為垂足，
 由雙曲線(xiàn)的定義可得

|MF2|

|MH|

=e=

6

2

，∴|MH|=

6

3

|MF₂|．
 故 

6

3

|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|=

3

2

-

2

3

=

9-4 3

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、H 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，得到|MH|=

6

3

|MF₂|，是解題的關(guān)鍵．