Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，從該數(shù)列中抽取某些項：a₁，a₅，a₁₇，a_k1，a_k2…，a_kn組成等比數(shù)列．
（1）求公比；
（2）求數(shù)列{kn}的通項公式，求數(shù)列{

n(kn+1)

22n+1

}的最大值項．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的公式即可求公比；
（2）先根據(jù)條件求出{kn}的通項公式，然后解不等式組即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的首項為a₁，
∵a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，
∴公比q=

a5

a1

=

a1+4d

a1

=

6d

2d

=3．
（2）∵a_kn=a₁+（k_n-1）d，
又a_kn=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
∴

n(kn+1)

22n+1

=

n?(2?3n-1-1+1)

2?4n

=

n?(2?3n-1)

2?4n

=

n?3n

3?4n

．
若第n項最大，則滿足：

n?3n 3?4n ≥ (n+1)?3n+1 3?4n+1 n?3n 3?4n ≥ (n-1)?3n-1 3?4n-1

，
即

n≥ 3(n+1) 4 3n 4 ≥n-1

，
∴

n≥3 n≤4

，
∴3≤n≤4，
即n=3或n=4時，最大．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的通項公式．考查學(xué)生 的計算能力．