Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D為C₁B的中點，P為AB邊上的動點．
（Ⅰ）當點P為AB的中點時，證明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D-CP-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）點P為AB的中點時，連接AC₁，因為在△ABC₁中DP是三角形的中位線，DP∥AC₁．然后證明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，作DO⊥BC于O，連接OP，則OP⊥AB，
連接CP，作OE⊥CP于E，所以所求二面角就是∠DEO；
求出OE，DE即可求二面角D-CP-B的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）當點P為AB的中點時，連接AC₁，
因為在△ABC₁中DP是三角形的中位線，DP∥AC₁．
AC₁?平面ACC₁A₁；
DP不在平面ACC₁A₁；
所以DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，作DO⊥BC于O，連接OP，則OP⊥AB，
連接CP，作OE⊥CP于E，所以所求二面角就是∠DEO；
因為幾何體是正三棱柱，所以底面是正三角形，所以BP==，
OP==，CP==，
，OE==，
DE==，
所以二面角D-CP-B的余弦值為：=．
點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，計算能力．