Question

【題目】已知橢圓：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn).證明：存在實(shí)數(shù)，使得，并求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的短軸的端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，結(jié)合直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，利用判別式等于零，即可求出橢圓的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)寫出的參數(shù)方程，代入橢圓的方程中，整理得出方程，在根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出和，由求出的值.

試題解析：（1）設(shè)短軸一端點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，其中，則；

由題意，為直角三角形，

∴，解得，

∴橢圓的方程為；

代人直線：，可得，

又直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得，

∴橢圓的方程為；

由，解得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）由已知可設(shè)直線的方程為（）

由方程組可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由方程組可得 ②

方程②的判別式為，由解得.

由②得，.

所以，

同理.

所以

故存在常數(shù)，使得.