Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，，且

（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)；

（Ⅱ）對于恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)，且時，試比較與的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為  ，證明略

（Ⅱ）①當(dāng)時，；②當(dāng)時，

（Ⅲ）當(dāng)時，  

【解析】解：（Ⅰ）由，解得或，

∴ 函數(shù)的定義域為                        …………………2分

當(dāng)時，

∴ 在定義域上是奇函數(shù)。                        …………….4分

（Ⅱ）由時，恒成立，

①當(dāng)時

∴對恒成立

∴ 在恒成立           ………………………6分

    設(shè)

則

∴當(dāng)時，

∴ 在區(qū)間上是增函數(shù)，

∴                                           …………………………8分

②當(dāng)時

由時，恒成立，

∴對恒成立

∴ 在恒成立               ………………………9分

    設(shè)

由①可知在區(qū)間上是增函數(shù)，

∴                                             …………………………10分

（Ⅲ）∵

                          

∴

當(dāng)時，，=2，∴

當(dāng)時，，=6，∴

當(dāng)時，           …………………………12分

下面證明：當(dāng)時，

   證法一：當(dāng)時，

∴當(dāng)時，       …………………………14分

證法二：當(dāng)時，要證明

只需要證明

（1）當(dāng)時，，，成立

（2）假設(shè)，不等式成立，即

那么

∴

又因為

∴

∴時，不等式成立

綜合（1）和（2），對，且不等式成立

∴當(dāng)時，   …………………………14分

證法三：∵時，

構(gòu)造函數(shù)

 

 

∴當(dāng)時，

∴在區(qū)間是減函數(shù)，

∴當(dāng)時，

∴在區(qū)間是減函數(shù)，

時，

時，，即

∴當(dāng)時，    …………………………14分