Question

已知數列{a_n}的前項n和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=

1

an+2

，T_n為數列{b_n}的前項n和，求

lim

n→∞

T_n的值；
（3）數列{a_n}中是否存在三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差數列？若存在．請求出一組適合條件的項；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得{a_n+2}是首項為a₁+2=4，公比為2的等比數列．由此能求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=

1

an+2

=

1

2n+1-2+2

=

1

2n+1

，由此利用裂項求和法能求出T_n=

1

2

-

1

2n+1

，從而得到

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

2n+1

）=

1

2

．
（3）假設存在這樣3項，則有a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，從而1+2^t-r=2^（s-r+1），由此推導出數列{a_n}中不存在三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差數列．

解答： 解：（1）a₁=S₁=2a₁-2，a₁=2．
a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2-2a_n，
a_n+1=2a_n+2，
a_n+1+2=2（a_n+2），
{a_n+2}是首項為a₁+2=4，公比為2的等比數列．
a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=

1

an+2

=

1

2n+1-2+2

=

1

2n+1

，
T_n=

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

2n+1

）=

1

2

．
（3）假設存在這樣3項，則有
a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，
∴2^r+1-2+2^t+1-2=2（2^s+1-2）
整理得到
2^r+2^t=2^s+1，
兩邊同時除以2^r，
1+2^t-r=2^（s-r+1），
等式左邊為奇數+偶數，其結果必然為奇數，
等式右邊為偶數，故上述等式不能成立，
∴數列{a_n}中不存在三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差數列．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的極限值的求法，考查等差數列的判斷與求法，解題時要認真審題，注意等比數列和等差數列的性質的合理運用．