Question

已知函數(shù)g₁（x）=lnx，g₂（x）=ax²+（1-a）x（a∈R且a≠0）．
（1）設(shè)f（x）=g₁（x）-g₂（x），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g₁（x）的圖象曲線C₁與函數(shù)g₂（x）的圖象c₂交于的不同兩點(diǎn)A、B，過(guò)線段AB的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N．證明：C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平行．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=lnx-ax²+（a-1）x
∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）…（1分）
由已知得f′（x）=-ax+a-1=-，…（2分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f′（x）＜0，，解得x＞1．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減…（3分）
②當(dāng)a＜0，時(shí)
①當(dāng)-＜1時(shí)，即a＜-1時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-或x＞1；
令f′（x）＜0，解得-＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）在（0，-）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-，1）上單調(diào)遞減…（4分）
②當(dāng)-=1時(shí)，即a=-1時(shí)，顯然，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（5分）
③當(dāng)-＞1時(shí)，即-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞-；
令f′（x）＜0，解得1＜x＜-．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）和（-，+∞）上單調(diào)遞增，（1，-）上單調(diào)遞減…（6分）
綜上所述，（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，-）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-，1）上單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（4）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）和（-，+∞）上單調(diào)遞增，（1，-）上單調(diào)遞減…（7分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則
y₁=lnx₁=a+（1-a）x₁…①
y₂=lnx₂=a+（1-a）x₂…②
由①-②得：lnx₁-lnx₂=[a（x₁+x₂）+1-a]（x₁-x₂）…③
假設(shè)C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平線，則有=a（x₁+x₂）+1-a，
代入（3）化簡(jiǎn)可得：=，
即ln==，
設(shè)=t，（t＞1），上式化為：lnt==2-，…（11分）
即lnt+=2…（12分）
令g（t）=lnt+，g′（t）=-=，
∵t＞1，顯然g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g(shù)（t）＞2恒成立．
∴在（1，+∞）內(nèi)不存在，使得lnt+=2成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．
∴C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平線…（14分）
分析：（1）依題意，f（x）=lnx-ax²+（a-1）x，f′（x）=-，對(duì)a分a＞0，a=0與a＜0，三類(lèi)討論，對(duì)a＜0再根據(jù)1與-的大小關(guān)系分三類(lèi)討論即可求得答案；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則lnx₁-lnx₂=[a（x₁+x₂）+1-a]（x₁-x₂），假設(shè)C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平線，則有=a（x₁+x₂）+1-a，與前式聯(lián)立可得：=，設(shè)=t，（t＞1），則lnt+=2，構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+，可判斷g（t）在（1，+∞）上遞增，g（t）＞2恒成立．從而可證明C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平行．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想，方程思想的綜合運(yùn)用，考查反證法，屬于難題．