Question

2008年5月12日，四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震．在隨后的幾天中，地震專家對汶川地區(qū)發(fā)生的余震進行了監(jiān)測，記錄的部分數(shù)據(jù)如下表：

強度（J）	1.6×1019	3.2×1019	4.5×1019	6.4×1019
震級（里氏）	5.0	5.2	5.3	5.4

注：地震強度是指地震時釋放的能量
（1）畫出震級（y）隨地震強度（x）變化的散點圖；
（2）根據(jù)散點圖，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述震級（y）隨地震強度（x）變化關(guān)系（a＞0）：y=ax+b，y=algx+b，y=a•10^x+b
（3）汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震時釋放的能量是多少？（取lg2=0.3）

Answer 1

分析：（1）由題中的表格，取地震強度的單位為10¹⁹，得到各個點的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中找出即可；
（2）根據(jù)作出的散點，分析可能連成的曲線的單調(diào)性與變化率，得到它近似符合對數(shù)函數(shù)模型，從而得到正確的選擇應(yīng)該是y=algx+b；
（3）根據(jù)（2）中選擇的函數(shù)，代入點的坐標(biāo)解出a、b之值，可得函數(shù)表達式，再解出當(dāng)y=8時的x值，即可得到發(fā)生里氏8.0級特大地震時所釋放的能量．

解答：解：（1）根據(jù)題中的表格，以地震強度為橫坐標(biāo)x、震級（單位為10¹⁹）為縱坐標(biāo)y，
得到點（1.6，5.0），（3.2，5.2），（4.5，5.3），（6.4，5.4）．在坐標(biāo)系描出各個點，如右圖所示；
（2）根據(jù)散點圖，可得若將它們連成平滑的曲線，該曲線的走勢是增函數(shù)，且變化率由快逐漸變慢．對照表格中的數(shù)據(jù)與提供的函數(shù)，可知宜選擇對數(shù)型函數(shù)，
所以應(yīng)該選擇y=algx+b．
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，將點（1.6，5.0）
與（3.2，5.2）代入，可得

5.0=alg(1.6×1019)+b   5.2=alg(3.2×1019)+b

．
解之得：a=

2

3

，b=-7.8，可得函數(shù)表達式為y=

2

3

lgx-7.8．
由此算出：當(dāng)y=8.0時，

2

3

lgx=15.8，解得x≈10²⁴（J）
即發(fā)生里氏8.0級特大地震時釋放的能量約為10²⁴（J）．

點評：本題著重考查了基本初等函數(shù)模型的選擇、函數(shù)圖象的作法與函數(shù)解析式的求法等知識，考查了數(shù)學(xué)建模的實際應(yīng)用能力，屬于中檔題．