Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，AB=2，PE=

3

，PC=

10

，E是AD的中點(diǎn)，PC上的點(diǎn)F滿足PE=2FC．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）求三棱錐F-BEC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先，得到△ABD是正三角形，得到AD⊥BE，從而得證；
（Ⅱ）首先，借助于△EBC中的條件，得到CE=

7

，然后，得到PE⊥EC，最后，結(jié)合V_F-EGC=

1

3

•S_△EGC•FG求解體積．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵PA=PD，E是AD的中點(diǎn)，
∴AD⊥PE．         
∵AD=AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，
∴AD⊥BE．   
又∵PE∩BE=E，
∴AD⊥平面PBE．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題設(shè)知：
在△EBC中，∠EBC=90°，EB=

3

，BC=2，
∴CE=

BE2+BC2

=

7

．              
∵PE=

3

，PC=

10

，滿足PC²=EC²+PE²，
∴PE⊥EC．                                
又∵PE⊥AD，AD∩EC=E，
∴PE⊥平面ABCD．                          
過F作FG⊥EC于G，則FG⊥PE，F(xiàn)G⊥平面ABCD，
∵PF=2FC，∴FG=

1

3

PE=

3

3

．       
∴V_F-EGC=

1

3

•S_△EGC•FG=

1

3

×

1

2

×2×

3

×

3

3

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中垂直關(guān)系的判定、三角形中的邊角關(guān)系、空間中體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．