Question

已知關(guān)于x的方程x²+2ax+b=0，其中，a∈[-

2

，

2

]，b∈[0，2]．
（1）求方程有實(shí)根的概率；
（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由一元二次方程的性質(zhì)，可得x²+2ax+b=0有實(shí)根的充要條件為b≤a²，
（1）由題意分析可得，這是幾何概型，將Ω={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2}表示為平面區(qū)域，進(jìn)而可得其中滿足b≤a²的區(qū)域的面積，由幾何概型公式，計(jì)算可得答案．
（2）由題意分析可得，這是古典概型，由a、b分別從{-1，0，1}，{0，1，2}中任取的數(shù)字，易得一共可以得到9個(gè)不同方程；可得滿足b≤a²的全部情況數(shù)目，結(jié)合古典概型公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：方程x²+2ax+b=0有實(shí)根?△≥0?4a²-4b≥0?b≤a²，
（1）點(diǎn)（a，b）所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?span id="xgzcfl2" class="MathJye">Ω={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2}，
面積S_Ω=2

2

×2=4

2

；
設(shè)“方程有實(shí)根”為事件A，所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)?span id="dmkh1d1" class="MathJye">A={(a，b)|-

2

≤a≤

2

，0≤b≤2，b≤a2}，
其面積SA=

∫

2 - 2

a2da=

1

3

a3

|

2 - 2

=

2 2

3

-

-2 2

3

=

4 2

3

，
這是一個(gè)幾何概型，所以P(A)=

SA

SΩ

=

1

3

（2）因?yàn)閍∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9個(gè)，分別是：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（0，1），（1，1），（-1，2），（0，2），（1，2），
其中，滿足△≥0即b≤a²的有5個(gè)：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（1，1）．
設(shè)“方程有實(shí)根”為事件B，這是一個(gè)古典概型，所以P(B)=

5

9

答：（1）所求概率為

1

3

；（2）所求概率為

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，注意兩者的不同．