Question

【題目】已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．給出如下函數(shù)：①f（x）=x；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=x2；則屬于集合M的函數(shù)個數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①若f（x）=x，
則f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∴x+T=Tx，不可能成立，不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則①不屬于集合M的函數(shù)；
②f（x）=2x；
則f（x+T）=2x+T=2T2x ，
由f（x+T）=Tf（x）得2T2x=T2x ，
即2T=T，
作出函數(shù)y=2x和y=x的圖象，由圖象知兩個函數(shù)沒有交點(diǎn)，
即方程2T=T無解，
∴不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則②不屬于集合M的函數(shù)；
③若f（x）= ，
則f（x+T）=（ ）x+T=（ ）T（ ）x ，
由f（x+T）=Tf（x）得（ ）T（ ）x=T（ ）x ，
即（ ）T=T，
作出函數(shù)y=（ ）x和y=x的圖象，由圖象知兩個函數(shù)有1個交點(diǎn)，
即方程（ ）T=T有一個解，
∴存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則③屬于集合M的函數(shù)；
④f（x）=x2；
則f（x+T）=（x+T）2 ，
由f（x+T）=Tf（x）得（x+T）2=Tx2 ，
即x2+2xT+T2=Tx2 ，
則方程x2+2xT+T2=Tx2 ， 不可能恒成立，
∴不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則④不屬于集合M的函數(shù)．
故選：A．