Question

已知幾何體ABCD-EFG中，ABCD是邊長為2的正方形，ADEG與CDEF都是直角梯形，且∠EDA=∠EDC=90°，EF∥CD，EG∥AD，EF∥EG=

1

2

DE=1
（1）求證：AC∥平面BGF；
（2）在AD上求一點M，使GM與平面BFG所成的角的正弦值為

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．

Answer 1

分析：（1）以D點為坐標(biāo)原點建立的空間坐標(biāo)系，由已知中ABCD是邊長為2的正方形，ADEG與CDEF都是直角梯形，且∠EDA=∠EDC=90°，EF∥CD，EG∥AD，EF∥EG=

1

2

DE=1，分別求出幾何體ABCD-EFG中，各頂點坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC方向向量及平面BGF的法向量，然后判斷這兩個向量數(shù)量積是否為0，即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，0，0），我們分別求出直線GM的方向向量與平面BFG法向量，根據(jù)已知GM與平面BFG所成的角的正弦值為

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．代入向量夾角公式，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程，即可確定M點人位置．

解答：證明：（1）∵ED⊥DA，ED⊥DC，ED⊥面ABCD
以D點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
G（1，0，2），F(xiàn)（0，1，2）…（3分）

AC

=（-2，2，0），

GF

=（-1，1，0）
∴

AC

=2

CF

，即AC∥GF
又∵AC?面BFG，GF?面BFG，AC∥平面BGF…（6分）
（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，0，0）
則

GM

=（x-1，0，-2），

BF

=（-2，-1，2），

BG

=（-1，-2，2），
設(shè)平面BGF的法向量為

n

，
則可求得

n

=（1，1，

3

2

）…（9分）
GM與平面BFG所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

BG

，

n

＞|=

|x-4|

(x-1)2+4- 1+1+ 9 4

=

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解得x=1，所以M是AD的中點…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將線面關(guān)系及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答此類問題的關(guān)鍵．