Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以先由平面ABCD⊥平面ABEF以及CB⊥AB證得CB⊥平面ABEF，⇒AF⊥CB．又因為AB為圓O的直徑⇒AF⊥BF，就可證：AF⊥平面CBF；
（2）取DF的中點為N，利用MNAO⇒MNAO為平行四邊形⇒OM∥AN即可．既用線線平行來證線面平行．
（3）先把兩個錐體的體積套公式求出來，就可求出其體積之比．
解答：解：（1）證明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
得CB⊥平面ABEF，
而AF?平面ABEF，所以AF⊥CB（2分）
又因為AB為圓O的直徑，
所以AF⊥BF，（3分）
又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF（4分）
（2）證明：設DF的中點為N，連接AN，MN
則MNCD，又AOCD
則MNAO，所以四邊形MNAO為平行四邊形，（6分）
所以OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
所以OM∥平面DAF．（8分）
（3）過點F作FG⊥AB于G，因為平面ABCD⊥平面ABEF，
所以FG⊥平面ABCD，所以（9分）
因為CB⊥平面ABEF，
所以（11分）
所以V_F-ABCD：V_F-CBE=4：1．（12分）
點評：本題是對立體幾何知識的綜合考查，涉及到線面垂直，線面平行和棱錐體積公式．是道綜合性極強的好題．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．